Trivium i Quadrivium – Zabijane sztuki wyzwolone, które uczą rozumieć

Gram. loquitur; Dia. vera docet; Rhe. verba ministrat;
Mus. canit; Ar. numerat; Geo. ponderat; as. colit astra^[4].

Gramatyka mówi, dialektyka uczy prawdy; retoryka stosuje słowa:
Muzyka śpiewa, arytmetyka liczy, geometria waży, astronomia czci gwiazdy^[4].

Venit ad Grammatice Poesis hortatum
Ut, quem primum fecerat illa litteratum,
Hec, novem Pyeridum trahens comitatum
Prosa, rhitmo, versibus faciat ornatuum^[67].

Na wezwanie Gramatyki przychodzi Poezja,
aby tego, kogo tamta nauczyła sztuki pisania,
ta, prowadząc ze sobą orszak dziewięciu Pieryd,
wyposażyła w umiejętność prozy, rytmu i wiersza^[67].

Środki stylistyczne, analizowane podczas czytania poezji, zwano w gramatyce pozami (schemata), tropami (tropi) lub figurami (figurae). Ich znaczenie tłumaczono na przykładzie ludzkiego ciała, które wyprostowane posiada mało wdzięku, natomiast różne jego pozycje podnoszą wrażenia estetyczne. Figury dzielono na figury mowy (np. anafora) oraz figury myśli (np. alegoria). Nauka o środkach stylistycznych była nieco odmienna w różnych okresach i krajach, stąd nie ustalono obowiązującej terminologii – w nieco inny sposób wyliczano oraz definiowano figury w poszczególnych szkołach^[68].

Podczas kursu gramatyki uczono także podstaw metryki(ang.). Zaliczenie kursu gramatyki najczęściej wiązało się z napisaniem przez ucznia własnego, poprawnie skonstruowanego wiersza. Stąd w literaturze starożytnej i średniowiecznej, autorzy piszący prozą często wplatali w swoje dzieła wierszowane przerywniki, wykazując się umiejętnościami nabytymi podczas nauki sztuk^[67]. Wyróżniano trzy rodzaje błędów, które popełniał uczeń piszący poezję: barbaryzmy (używanie słownictwa pochodzącego z innych języków), solecyzmy (błędy w konstrukcji zdań) oraz metaplazmy(ang.) (odchylenia od normy ortograficznej lub gramatycznej)^[64].

Retoryka

Osobny artykuł: Retoryka.

Celem kursu retoryki (rhetorica) było wykształcenie umiejętności pisania i wygłaszania przez ucznia własnych wypowiedzi^[69]. O ile ukończenie gramatyki wiązało się ze stworzeniem dzieła poetyckiego, to retorykę zaliczano na podstawie mowy, którą uczeń wygłaszał prozą – zazwyczaj publicznie^[64]. Stąd też podstawowym elementem kursu retoryki była nauka jasnego, stosownego i ozdobnego wyrażania myśli prozą. Drugim elementem było formowanie postawy religijnej, moralnej, społecznej czy politycznej ucznia^[69].

W większości szkół nauczano retoryki na podstawie analizy dzieł Cycerona. Uczono się na pamięć mów tego autora, aby potem w praktyce stosować jego sposób wysławiania się, argumentację czy figury retoryczne. Z jego prac czerpano sposoby umożliwiające przekonanie słuchaczy do własnych racji. Poza samymi mowami Cycerona, jako podręczników używano jego O inwencji oraz przypisywaną mu Retorykę dla Herenniusza^[70]. Podstawowym podręcznikiem w wielu szkołach było też często Kształcenie mówcy(ang.) Kwintyliana, bowiem w tym dziele teoria retoryki została zebrana w spójną całość, usystematyzowania i jasno wyłożona^[71].

Poprawnie sformułowana wypowiedź powinna składać się z pięciu części: wstępu (exordium), narracji (narratio), argumentacji (probatio), refutacji (refutatio) i zakończenia (conclusio). Uczeń układał swoją wypowiedź w tej właśnie formie^[72]. Dalej kształcono umiejętność konstruowania poprawnej wypowiedzi w trzech rodzajach – uzasadniającym (genus deliberativum), osądzającym (genus iudiciale) i oceniającym (genus demonstrativum). Wyjaśniano, że rodzaje te odpowiadają ludzkiej skłonności do radzenia lub odradzania, oskarżania lub obrony, a także chwalenia lub ganienia. Prawidłowo napisana wypowiedź uzasadniająca dotyczyła czasu przyszłego, wypowiedź osądzająca czasu przeszłego, natomiast wypowiedź oceniająca czasu teraźniejszego^[73].

Po opanowaniu przez ucznia części i rodzajów wypowiedzi, nauczano pisania i wygłaszania wypowiedzi w trzech stylach – niskim (modus humilis), średnim (modus medius) lub wysokim (modus gravis). Wypowiedź należała do jednego z tych trzech stylów w zależności od stopnia ozdobności w zakresie słownictwa i szyku zdań, nasycenia środkami służącymi oddziaływaniu emocjonalnemu (takimi jak figury retoryczne czy metafory) oraz sposobu rytmizacji tekstu^[74].

Dialektyka

 Osobny artykuł: Dialektyka.

Zadaniem dialektyki (dialectica) było opanowanie sztuki dyskutowania na dowolny temat. Dlatego we wstępnej części kursu wykładano zasady poprawnego rozumowania, służącego do analizy argumentów potwierdzających lub kwestionujących udowadnianą w czasie dyskusji tezę^[75]. Następnie, w formie praktycznego ćwiczenia, prowadzono debaty, podczas których jeden z uczniów starał się udowodnić dowolną tezę, a drugi ją obalić^[76]. Jako podręcznika używano najczęściej IV księgi O zaślubinach Filologii z Merkurym(niderl.) Marcjana Kapelli^[75], rzadziej De topicis differentiis Boecjusza^[77].

Podczas szkolnych debat rozstrzygano problemy zadawane przez nauczyciela. Dzielono je na moralne (Czy powinno się być posłusznym rodzicom, gdy żądają czynu sprzecznego z prawem?)^[78], teoretyczne (Czy historia jest nauczycielką życia?) oraz fizyczne (Czy świat jest wieczny?)^[78]. Problemy formułowano w ten sposób, aby uczeń mógł na nie odpowiedzieć „tak” lub „nie”^[78]. Debatę rozpoczynał pytający, który na podstawie problemu wyznaczonego przez nauczyciela, formułował prostą kwestię. Odpowiadający wyraża swoje zdanie („tak” lub „nie“) – stawiał tezę, a następnie ją uzasadniał. W zależności od tego, którą alternatywę wybierał odpowiadający, pytający przyjmował zdanie przeciwne i starał się obalić tezę odpowiadającego. W tym celu, pod koniec swojej wypowiedzi, pytający zadawał odpowiadającemu kolejne pytanie, w formie wymagającej odpowiedzi „tak” lub „nie”. Zależnie od odpowiedzi, pytający kończył, udowadniając sprzeczną naturę tezy odpowiadającego^[78].

Jeżeli odpowiadający odpowiadał „tak” na zadaną kwestię, przedstawiając uzasadnienie tezy {\displaystyle p,} to pytający miał za zadania obalić {\displaystyle p.} Aby to zrobić, musiał znaleźć tezę {\displaystyle q,} która z jednej strony jest wnioskiem wynikającym z {\displaystyle p,} ale z drugiej strony jej treść była nie do przyjęcia dla odpowiadającego. W tym przypadku odrzucenie {\displaystyle q} prowadziło do obalenia {\displaystyle p.} Jeżeli natomiast odpowiadający mówił „nie” i uzasadniał tezę ¬{\displaystyle p,} pytający musiał uzasadnić {\displaystyle p.} Aby to zrobić, musiał znaleźć twierdzenie {\displaystyle q,} które z jednej strony była niezbędną przesłanką dla {\displaystyle p,} a z drugiej którego treść odpowiadający powinien zaakceptować. W tym przypadku akceptacja {\displaystyle q} prowadziła do przyjęcia {\displaystyle p}^[78].

Debata szkolna była ograniczona czasowo. Pytający przegrywał, gdy nie był w stanie obalić tezy w ustalonym czasie, natomiast wygrywał, gdy zdołał szybko wyprowadzić poprawne wnioski lub przesłanki z twierdzenia oponenta. Zaliczenie kursu dialektyki wiązało się zazwyczaj z wygraniem odpowiedniej liczby debat, często o charakterze publicznym^[79].

Quadrivium

Arytmetyka

Arytmetyka (arithmetic) była sztuką uczącą przeprowadzania obliczeń, stąd zwano ją też liczeniem (computus). Jej nauka składała się z dwóch elementów – arytmetyki teoretycznej i arytmetyki praktycznej. W części szkół pomijano wykłady teoretyczne, ograniczając naukę do wykształcenia u ucznia umiejętności przeprowadzenia podstawowych obliczeń^[80]. Większość szkół nauczała arytmetyki na bardzo wysokim poziomie^[81]. W VII i VIII wieku na synodach anglosaskich i frankijskich wydawano zarządzenia, w myśl których nie można było wyświęcić na kapłana osoby, która nie zaliczyła kursu arytmetyki^[82]. Dante twierdził, że arytmetyka jest najtrudniejszą, ale i najjaśniejszą ze sztuk, gdyż podobnie do Słońca oświetlającego Ziemię, daje ona światło wszystkie innym naukom – jak oczy człowieka oślepia blask Słońca, tak jego inteligencja jest zbita z tropu nieskończonością liczb^[83].

Źródłem wiedzy matematycznej w starożytnym Rzymie i średniowieczu było dzieło Nikomacha Wstęp do arytmetyki(ang.), napisane najprawdopodobniej pod koniec I wieku, w którym podsumowane zostały ustalenia greckich uczonych^[81]. Praca Nikomacha była podstawą, na której swoje podręczniki napisali później Marcjana Kapella, Boecjusz, Kasjodor czy Izydor z Sewilli^[84].

W przeciwieństwie do sztuk literackich, kurs arytmetyki uległ w średniowieczu daleko idącym – w stosunku do starożytności – zmianom. Doszło do dwóch zasadniczych przełomów w nauczaniu arytmetyki. W X wieku Gerbert z Aurillac wprowadził do artes udoskonalony abakus oraz nauczanie przeprowadzania dzielenia w słupkach, pozwalające na obliczenie reszty. W XIII wieku zastąpiono cyfry rzymskie cyframi arabskimi oraz wprowadzono cyfrę zero. Te zmiany powszechnie się przyjęły i zrewolucjonizowały, w późnym średniowieczu, kurs arytmetyki. Dlatego w badaniach nad sztukami wyzwolonymi wyróżnia się trzy okresy w nauczaniu arytmetyki: do X wieku, między X a XIII wiekiem oraz po XIII wieku^[85].

Przez ponad tysiąc lat kurs arytmetyki teoretycznej oparty był na dwutomowym De institutione artithmetica Boecjusza. Znane są liczne przeróbki i skróty tej pracy, zachowały się komentarze do niej, napisane przez najwybitniejszych uczonych. Dzieło to było drukowane jeszcze w końcu XVI wieku. Było używane jako standardowy wstęp do matematyki, nawet po wprowadzeniu cyfr arabskich. Nie miało charakteru podręcznika dla początkujących, gdyż nie wyjaśniało technicznych reguł liczenia. Było zbiorem twierdzeń dotyczących klasyfikacji i właściwości liczb oraz zasad przeprowadzanie poszczególnych operacji matematycznych. Swój wykład zilustrował Boecjusz ponad stu diagramami^[86].

Wśród podręczników objaśniających techniczne zasady przeprowadzania obliczeń, najbardziej obszernym i bardzo często używanym w różnych szkołach było De computo(niem.) Hrabana Maura, napisane w pierwszej połowie IX wieku. Na przykładzie obliczania daty Wielkanocy, Hraban w 96 rozdziałach omówił między innymi grecką notację arytmetyczną, sposoby przeprowadzenia wszystkich czterech działań na liczbach całkowitych, czy różne metody zapisu tych działań za pomocą cyfr rzymskich. Same obliczenia uczeń miał przeprowadzać „w głowie”, posiłkując się odpowiednimi technikami używania palców lub abakusa^[87]. Różne sposoby liczenia oraz rozwiązywania zadań tekstowych omówił Alkuin w popularnej pracy szkolnej Propositiones ad acuendos iuvenes(niem.), napisanej dla najmłodszych adeptów sztuk^[88].

Pierwszy przełom w nauczaniu arytmetyki związany był z działalnością Gerberta z Aurillac, który w latach 972–982 nauczał w Reims. Wśród jego dzieł charakter podręczników szkolnych miały Regulae de abaci numerorum rationibus oraz De numerorum abaci rationibus. Ze względu na prosty i użyteczny sposób wykładu, podręczniki te stosowano przez wiele stuleci. Gerbert przedstawił w nich sposoby przeprowadzania dodawania, odejmowania i mnożenia za pomocą abakusa, ulepszające starożytne metody. Zaproponowany przez Gerberta sposób wykonywania dzielenia w słupkach był nowatorski, pozwalał na obliczenie reszty. Metoda Gerberta była jednak nadal bardzo skomplikowana i w szkołach zalecano zastępowanie dzielenia przez odnalezienie odpowiedniego mnożenia^[89].

Zmienione przez Gerberta zasady liczenia oparte były na zmodernizowanym przez niego abakusie. Klasyczny abakus oparty był na systemie dziesiętnym. Składał się z kolumn, z których każda odpowiadała kolejnym dziesiątkom. W kolumny te wkładano kamyki. Osobna kolumna służyła do odkładania kamieni. Do klasycznego abakusa dodał Gerbert linię poziomą, zwaną apices, położoną nad kolumnami. Linia ta była szczególnie użyteczna podczas wyliczania reszty z dzielenia lub działaniach na dużych liczbach. Nowy typ abakusa szybko został przyjęty w większości szkół, chociaż operacje na nim były trudniejsze, niż na abakusie klasycznym^[90]. Powszechne stosowanie ulepszonego abakusa w szkolnictwie między X a XIII wiekiem spowodowało, że okres ten zwany jest w literaturze naukowej abakusowym^[89].

W XII wieku w szkołach europejskich toczył się ostry spór między zwolennikami arabskiego sposobu liczenia i zapisywania cyfr – zwanych algebraistami – a abacystami, zwolennikami tradycyjnych rzymskich cyfr i stosowania abakusa^[91]. Po ponad stu latach doprowadził on do drugiego przełomu w nauczaniu artes. Algebraiści wprowadzili hindusko–arabski system notacji, wartość lokalną, cyfrę zero oraz kombinowane stosowanie cyfr i liter przy rozwiązywaniu problemów arytmetycznych. Większość szkół przyjęła nowy system obliczeń w XIII wieku. Jednak do końca XVI wieku część nauczycieli odrzucała zmiany, nadal zalecając notację rzymską i stosowanie abakusa^[92].

Najstarsze elementy nowego systemu znane są z prac Adelarda z Bath, powstałych w początkach XII wieku. Około roku 1140 Jan z Sewilli(ang.) napisał podręcznik arytmetyki, który zatytułował Algorismus. Podręcznik ten był w następnych dziesięcioleciach wykorzystywany przez algebraistów w różnych szkołach europejskich przy wprowadzaniu nowego sposobu liczenia. Podobnie zatytułowany podręcznik napisał kilkadziesiąt lat później Gerard z Cremony^[93]. Rzadko czytano w szkołach, fundamentalne dla dalszego rozwoju matematyki, dzieło Fibonacciego Liber abaci z 1202 roku. Natomiast status podstawowych podręczników w następnych stuleciach uzyskały, napisane w pierwszej połowie XIII wieku, podręczniki Jordanusa Nemorariusa(ang.): Alghoritmus demonstratus (objaśniający sposób przeprowadzania obliczeń za pomocą cyfr arabskich) oraz Arithmetica demonstrata (poświęcony arytmetyce teoretycznej)^[94]. Na podstawie dzieł Nemorariusa w późnym średniowieczu ustaliła się nowa terminologia szkolna, zgodnie z którą termin arytmetyka odnosił się do arytmetyki teoretycznej, zaś obliczenia zwano algorytmem^[95].

Geometria

Kurs geometrii (geometria) w ramach artes był zbliżony do późniejszego nauczania geodezji. Składał się z dwóch części – nauczania geografii oraz właściwej geometrii. W niektórych szkołach rozszerzano go, na przykład o podstawy biologii czy historii^[96]. Większość tekstu podręcznika Marcjana Kapelli zajmowały opisy krain, historycznych miejsc i związanych z nimi faktów. Dopiero w ostatnich akapitach omówione zostały definicje linii, trójkąta, kwadratu, okręgu, ostrosłupa i stożka^[97]. Natomiast w podręczniku Boecjusza proporcje były odwrotne^[98].

Chociaż w starożytności i średniowieczu niektórzy autorzy byli przeciwnikami nauki o kulistości Ziemi, podręczniki jednoznacznie opisywały to zjawisko. Twierdzenie, że Ziemia jest kulą, znalazło się między innymi w pracach Marcjana Kapelli, Boecjusza, czy Kasjodora. Jedynie Izydor z Sewilli, w jednym z miejsc swojego dzieła, opisał ją jako okrąg. Szczegóły nauki o kulistości Ziemi opierano przede wszystkim na komentarzu Makrobiusza do Snu Scypiona Cycerona^[99].

Na kuli ziemskiej wyróżniano pięć stref, z których dwie – arktyczna i antarktyczna – nie są zamieszkałe z powodu zimna^[100]. Między dwiema nadającymi się do zamieszkania strefami umiarkowanymi, rozciąga się strefa gorąca, nie zamieszkana wskutek żaru^[101]. Antypodzi, którzy mieszkają w południowej strefie umiarkowanej, nie maja nic wspólnego z mieszkańcami półkuli północnej. Cały znany i zamieszkały świat umieszczony został w tej koncepcji w jednej strefie – północnej umiarkowanej (temperata habitabilis)^[100]. W niektórych szkołach nauczano nie o pięciu, ale siedmiu strefach, gdy strefę gorącą przedzielono rzeką zwaną Oceanem i traktowano jako trzy odrębne strefy^[101].

Z twierdzeniem o kulistości Ziemi wiązała się nauka o grawitacji, którą nazywano najczęściej przyrodzoną skłonnością Ziemi. Wincenty z Beauvais w swoim podręczniku sztuk, napisanym w pierwszej połowie XII wieku, analizując grawitację starał się wyjaśnić, co by się zdarzyło, gdyby wywiercić dziurę na wylot przez kulę ziemską i wrzucić tam kamień. Jego zdaniem, siła grawitacji spowoduje, że kamień zatrzyma się w jądrze Ziemi. W innym średniowiecznym podręczniku wyjaśniono: Z każdej części Ziemi, gdziekolwiek mieszkają ludzie, czy to na górze, czy to na dole, zawsze się im wydaje, że chodzą bardziej prosto niż wszyscy inni. I właśnie tak, jak nam się wydaje, że są pod nami, im wydaje się, że my jesteśmy nad nimi^[102].

Źródłem wiedzy geometrycznej w starożytnym Rzymie i średniowieczu było dzieło Euklidesa Elementy, napisane najprawdopodobniej w IV wieku przed Chrystusem. W średniowieczu znano je dzięki, opartym na redakcji Teona z Aleksandrii, podręcznikom Marcjana Kapella, Boecjusza i Kasjodora. Kurs geometrii prowadzono zazwyczaj posługując się De institutione geometrica Boecjusza. Prawdopodobnie druga księga tego dzieła, w wersji znanej współcześnie, została przeredagowana w X wieku, w czasach Gerberta z Aurillac, gdyż zawiera fragmenty, w których wyjaśniono zasady stosowania zmodernizowanego abakusa do obliczeń geometrycznych. W szkołach uczono definicji różnych figur geometrycznych oraz obliczania powierzchni trójkątów, prostokątów, wielokątów oraz okręgów. Typowym zadaniem z podręcznika Boecjusza było wykreślenie trójkąta równobocznego z linii o określonej długości i obliczenie powierzchni nowej figury^[98].

W roku 1120 Adelard z Bath przetłumaczył z arabskiego na łacinę wszystkie księgi Elementów, w roku 1188 niezależnego tłumaczenia dokonał Gerard z Cremony, co w XIII wieku doprowadziło do przełomu w nauczaniu geometrii^[103]. W najlepszych szkołach podczas kursu stosowano Practica geometriae Fibonacciego z 1222 roku, De traingulis Jordanusa Nemorariusa(ang.) z około 1237 roku czy De geometria speculativa Thomasa Bradwardine z około 1327 roku^[104]. Podręczniki te wprowadziły do artes między innymi układ współrzędnych czy naukę o perspektywie^[105].

Astronomia

Kurs astronomii (astronomia) obejmował nauczanie matematycznych sposobów mierzenia i obliczania czasu (komputystykę), wyjaśnienie struktury wszechświata (kosmografię) oraz obserwację nieba widzianego z Ziemi^[106].

W większości szkół do zaliczenia astronomii wystarczało zdobycie umiejętności układania kalendarza^[107]. Podstawowym podręcznikiem, który wykorzystywano, było De temporum ratione(ang.) Bedy z 725 roku^[108]. Współczesny kalendarz został w zasadzie wypracowany na potrzeby kursu sztuk. Uczniowie układali go na tak zwanych tablicach paschalnych^[109]. Wpierw ustalano dzień Wielkanocy na podstawie cyklu księżycowego (235 miesięcy księżycowych), na który składało się 19 lat słonecznych. Po wykonaniu odpowiednich obliczeń, przez kombinację cyklu słonecznego(ang.) (28 lat) z cyklem księżycowym uczeń wyliczał cykl paschalny (532 lata), po upływie którego fazy Księżyca przypadają na te same dni roku i tygodnia. Kolejny zabieg dotyczył ustalenia epakty(ang.) dla równonocy wiosennej. Data Wielkanocy regulowała układ konkretnego roku, który należało – wychodząc od niej – podzielić na tygodnie. Obliczenia te były skomplikowane astronomicznie i arytmetycznie^[110].

Szczegóły teorii Ptolemeusza wykładano przede wszystkim na podstawie VIII księgi O zaślubinach Filologii z Merkurym(niderl.) Marcjana Kapelli. Na ten podręcznik powoływał się jeszcze Kopernik w XVI wieku^[111]. W lepszych szkołach używano przyrządów astronomicznych do prowadzenia własnych pomiarów^[112]. Starożytna i średniowieczna astronomia oparta była na obliczeniach matematycznych^[113]. Jak twierdził Tomasz z Akwinu, podczas kursu astronomii daje się opis kół ekscentrycznych i epicyklów na tej podstawie, że jeżeli się robi założenie ich istnienia, dostrzegalne zmysłami pozory dotyczące ruchów niebieskich mogą zostać zachowane. Ale nie jest to ścisły dowód, ponieważ być może dałyby się one również zachować przy odmiennym założeniu. Stąd w części szkół średniowiecznych nigdy nie odrzucono całkowicie modelu heliocentrycznego. Teoria Kopernika nie wywołała w sztukach sprzeciwu, gdyż traktowano ją jako uzasadnioną matematycznie hipotezę. Sprzeciw wywołał dopiero Galileusz, który nalegał, aby hipotezę Kopernika traktować jako jedyny prawdziwy opis wszechświata^[114].

Zgodnie z dominującym modelem nauczano, że wszechświat jest kulisty. Jedynie Ziemia, znajdująca się w jego centrum, pozostaje nieruchoma. Wszystkie inne części wszechświata znajdują się w ciągłym ruchu^[115]. Ziemia jest otoczona grupą obracających się kul, obejmujących jedna drugą. Kule te nazywano sferami(ang.) (sphaerae), niebiosami (coela), elementami (elementa) lub kręgami niebieskimi (orbes celestes)^[116]. Każda z tych sfer ma swoje bieguny oraz oś obrotu^[117]. Sfery wypełnia pustka (eter). W każdej z pierwszych siedmiu sfer znajduje się jedno świecące ciało niebieskie (planeta). W kolejności są to Księżyc, Merkury, Wenus, Słońce, Mars, Jowisz i Saturn. Sferę Saturna obejmuje kolejna kula, sfera gwiazd stałych (stellatum), w której znajdują się wszystkie gwiazdy. Ostatnią jest sfera pierwszego ruchu(ang.) (primum mobile). Nie zawiera ona żadnego świecącego ciała niebieskiego, a o jej istnieniu wnioskowano z ruch pozostałych sfer – ruch ten bez hipotezy dodatkowej sfery nie miałby swojej przyczyny^[116].

We wszechświecie wyróżniano dwie strefy, podksiężycową(ang.) i pozaksiężycową. Granicą między nimi jest Księżyc. W podręcznikach wyjaśniano, że w każdej z tych stref obowiązują inne prawa. W świecie podksiężycowym występuje atmosfera, a bytami ożywionymi i nieożywionymi rządzi grawitacja, przypadkowość i zmienność. Natomiast w świecie pozaksiężycowym występuje próżnia, a istniejące tam byty podlegają wiecznemu ruchowi(ang.), konieczności oraz niezmienności^[118].

Wszechświat nie jest nieskończony. Za Arystotelesem i Marcjanem Kapellą nauczano, że za ostatnią sferą nie ma ani miejsca, ani pustki, ani czasu. Dlatego cokolwiek tam jest, jest takiego rodzaju, że nie zajmuje przestrzeni, ani nie podlega czasowi. Poza granicą wszechświata załamuje się czasoprzestrzenny sposób myślenia człowieka. Gdy Dante przekracza tę granicę, Beatrycze mówi mu: Duch nasz promienisto z najwyższych światów sfery, w ono wnika niebo, co jeno jest światłością czystą, światłością myśli pełną ukochania^[116].

Muzyka

Muzyka (musica) była sztuką nauczaną prawie wyłącznie teoretycznie, uważaną za rozszerzenie arytmetyki^[119]. W ramach kursu muzyki wprowadzano różne nowe pojęcia matematyczne, na przykład ułamki^[120]. Sztukę tę określano niekiedy zgodnością (harmonia), gdyż jej celem było wykazanie harmonii świata opisanego liczbami. Taka koncepcja wywodziła się z filozofii platońskiej i neoplatońskiej^[121]. Często w tym kontekście cytowano w średniowieczu Chalcydiusza, który w komentarzu do Timajosa Platona, stwierdził że nauka nie dotyczy tej muzyki, która cieszy plebejuszy, ale owej boskiej muzyki, która nigdy nie odstępuje od rozumienia i rozumu^[122]. Nie kształcono więc podczas kursu muzyki umiejętności śpiewu czy gry na instrumencie. Wyjątkiem były niektóre średniowieczne szkoły klasztorne lub katedralne, w których przysposabiano uczniów do uczestnictwa w officium. Terminy muzyka i muzyk, we współczesnym znaczeniu, ukształtowały się dopiero w XVI wieku^[119].

Pierwsza część kursu poświęcona była historii i znaczeniu muzyki, przedstawianej jako uniwersalny język ludzkości i całego wszechświata^[123]. Wszechświat, zgodnie z tą koncepcją, opisywano jako przestrzeń ogromną, ale nie milczącą – tworzącą poprzez swoją matematyczną harmonię dżwięk (tonus)^[124]. Następnie, wyjaśniając zjawisko harmonii, wprowadzano pojęcie matematycznej proporcji (ratio, analogia) oraz wynikające z niej zjawiska dysonansu (asymphonia) i konsonansu (symphonia). Zjawiska te tłumaczono nie tylko na przykładzie muzyki, ale także literatury, astronomii, czy geometrii. W drugiej części kursu z twierdzeń o proporcjach wyprowadzano pojęcie ułamka (fractio). Uczono działań na ułamkach, skupiając się przede wszystkim na dzieleniu. Notacja stosowana podczas nauki była odmienna w różnych epokach i krajach, opierała się jednak zawsze na literach greckich lub łacińskich^[123].

Całośc artykułu tutaj